9) Kvadratická a mocninné funkce (definice, vlastnosti, grafy, aplikace)

Kvadratická funkce - teorie

Definice:

Kvadratickou funkcí rozumíme funkci, kterou můžeme zapsat jako , kde .

Grafem kvadratické funkce je parabola

Vrchol paraboly:

a)  - zde je vrcholem paraboly bod

b)  - zde je vrcholem paraboly bod

Další důležité body:

a) Průsečík s osou y (existuje vždy):

Dosadíme za x hodnotu 0

b) Průsečíky s osou x (existují dva/jeden/žádný)

Počet průsečíků závisí na řešení rovnice

a.  - neexistuje průsečík s osou x

i. Pokud , pak je celá parabola „nad“ osou x

ii. Pokud , pak je celá parabola „pod“ osou x

b.  - jeden průsečík s osou x a je jím vrchol paraboly

c.  - dva průsečíky s osou x

Význam parametru a

a) Otevření paraboly

a. Pokud , pak je parabola otevřena nahoru a ve vrcholu je její minimum

b. Pokud , pak je parabola otevřena dolu a ve vrcholu je její maximum

b) Uzavřenost paraboly

Čím je  vetší, tím je parabola uzavřenější

Určení oboru hodnot

a) Ze zápisu funkce

a. Pokud , pak je obor hodnot

b. Pokud , pak je obor hodnot

b) Z grafu

Graf kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Rozdělíme funkci na dílčí funkce definované na dílčích definičních oborech. Jejich sjednocením dostaneme výslednou funkci. Dělení provádíme podle absolutních hodnot.

Kvadratické funkce – příklady

1) Kvadratická funkce f prochází body K[0;-3], L[1;0], M[-1;-4]. Zapište funkci rovnicí

Dosazením x a y dostaneme tři rovnice o třech neznámých:

Vyřešíme soustavu rovnic a dostaneme kořeny:

Nakonec zapíšeme výslednou rovnici:

2) Zapište funkci rovnicí

Funkce prochází body P[0;0], V[3;18] a parametr a je záporný.

Ze zadání dostaneme:

Řešením jsou tedy všechny rovnice, jejichž parametry odpovídají:

Rovnici zapíšeme jako rovnici s parametrem a:

3) Načrtněte grafy a určete průsečíky s osami, vrchol a obor hodnot

a)

Průsečík s osou y je

Průsečíky s osou x jsou

Vrchol paraboly je v bodě

Obor hodnot je

b)

Průsečík s osou y je

Průsečíky s osou x jsou

Minimum je v bodě

Obor hodnot je

c)

Průsečík s osou y je

Průsečíky s osou x jsou

Vrchol paraboly je v bodě

Obor hodnot je

4) Řešte nerovnici s neznámou

Zadání:

Pomocná rovnice:

tato rovnice nemá v R řešení – parabola nikde neprotíná osu x – protože , pak pro každé , je výsledek kladný – nerovnice nemá řešení.

5) Rozdělte úsečku a tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníku nad oběma úsečkami byl minimální.

Obsah rovnostranného trojúhelníka:

Úsečku a rozdělíme na dvě úsečky délek x₁ a x₂. Bude platit že  se bude rovnat délce úsečky a - y. Pak můžeme zapsat  a počítat součet obsahů:

 a tento součet má být pro dané y co nejmenší.

Minimum nastane právě tehdy, když  - Úsečku je potřeba rozdělit na polovinu.

6) Načrtněte grafy funkcí a popište jejich vlastnosti

a)

Není sudá, ni lichá

Nemá maximum

Minimum je 0

V  je rostoucí; a v  je klesající

b)

Není sudá, ni lichá

Nemá maximum ani minimum

V  je rostoucí

c)

Není sudá, ni lichá

Nemá maximum ani minimum

V  je klesající; a v  je klesající

d)

Není sudá, ni lichá

Nemá maximum

Minimum je 0

V  je klesající; a v  je rostoucí

7) Řešte rovnici graficky

Zadání:

Řešte pomocí

8) Řešte rovnice graficky

a)

b)